9. Внутри угла COD, равного 140°, находится угол АОВ, равный 100°. Найдите угол между биссектрисами углов АОС и BOD, если луч OB лежит внутри угла AOD

Пошаговое решение:

У нас есть угол COD = 140°. Внутри него находится угол AOB = 100°.

Так как луч OB лежит внутри угла AOD, то порядок лучей может быть таким: A, O, B, C, D или A, O, B, D, C. Но из условия, что AOB находится внутри COD, следует, что либо AOB, BOC, COD, либо AOC, BOD. Наиболее вероятное расположение лучей, чтобы AOB был внутри COD, а OB внутри AOD: A, O, B, C, D.

∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 100° + ∠BOC.

∠BOD = ∠BOC + ∠COD = ∠BOC + 140°.

∠AOD = ∠AOB + ∠BOC + ∠COD = 100° + ∠BOC + 140° = 240° + ∠BOC.

Однако, из условия, что AOB находится внутри COD, и OB внутри AOD, это означает, что AOB < COD. И AOB < AOD. OB внутри AOD значит, что A, O, B, D или D, O, B, A. Но AOB = 100. COD = 140. OB лежит внутри AOD. Это возможно только если A, B, C, D или A, C, B, D.

Рассмотрим случай, когда лучи идут в порядке A, O, B, C, D.

∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 100° + ∠BOC

∠BOD = ∠BOC + ∠COD = ∠BOC + 140°

∠AOD = ∠AOB + ∠BOC + ∠COD = 100° + ∠BOC + 140° = 240° + ∠BOC.

Если угол COD = 140°, и внутри него находится угол AOB = 100°, то ∠BOC может быть таким, что ∠AOB < ∠COD. Это возможно, если A, B, C, D в таком порядке. Тогда ∠AOB = 100°, ∠COD = 140°.

∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 100° + ∠BOC

∠BOD = ∠BOC + ∠COD = ∠BOC + 140°

∠AOD = ∠AOB + ∠BOC + ∠COD = 100° + ∠BOC + 140° = 240° + ∠BOC. Этот случай невозможен, так как угол AOD не может быть больше 180° (если это не развернутый угол).

Предположим, что A, B, C, D — это лучи, исходящие из одной точки O. Угол COD = 140°. Угол AOB = 100°. Луч OB лежит внутри угла AOD.

Это возможно, если A, B, C, D расположены в таком порядке, что AOB < COD, и AOB < AOD.

Пусть A, B, C, D — лучи. ∠COD = 140°. ∠AOB = 100°.

Если ∠BOC = y, то ∠AOC = 100° + y. ∠BOD = y + 140°.

∠AOD = ∠AOB + ∠BOC + ∠COD = 100° + y + 140° = 240° + y. Это нелогично.

Рассмотрим, что AOB и COD — углы, возможно, пересекающиеся.

Если AOB и COD — углы, и AOB находится внутри COD, то AOB < COD. 100° < 140°.

Пусть лучи идут в порядке: A, C, B, D. Тогда ∠AOC, ∠COB, ∠BOD. И ∠AOB = ∠AOC + ∠COB = 100°. ∠COD = ∠COB + ∠BOD = 140°.

Пусть ∠COB = y. Тогда ∠AOC = 100° - y. ∠BOD = 140° - y.

Биссектриса угла AOC (назовем ее Ok) делит ∠AOC пополам: ∠AOk = ∠kOC = (100° - y) / 2.

Биссектриса угла BOD (назовем ее Ol) делит ∠BOD пополам: ∠BOl = ∠lOD = (140° - y) / 2.

Угол между биссектрисами Ok и Ol.

Угол ∠kOl = ∠kOC + ∠COB + ∠BOl = (100° - y) / 2 + y + (140° - y) / 2.

∠kOl = 50° - y/2 + y + 70° - y/2 = 120°.

В этом случае, угол между биссектрисами равен 120°.

Проверим условие: луч OB лежит внутри угла AOD. В случае A, C, B, D, луч OB лежит внутри угла AOD. Угол AOD = ∠AOC + ∠COB + ∠BOD = (100° - y) + y + (140° - y) = 240° - y. Это может быть больше 180°.

Рассмотрим другой порядок лучей: A, B, C, D.

∠AOB = 100°.

∠COD = 140°.

∠BOC = y.

∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 100° + y.

∠BOD = ∠BOC + ∠COD = y + 140°.

∠AOD = ∠AOB + ∠BOC + ∠COD = 100° + y + 140° = 240° + y. Этот случай невозможен, если A, B, C, D — лучи, образующие углы на плоскости.

Предположим, что A, O, B, C, D — лучи в таком порядке.

∠AOB = 100°.

∠COD = 140°.

∠BOC = y.

∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 100° + y.

∠BOD = ∠BOC + ∠COD = y + 140°.

∠AOD = ∠AOC + ∠COD = (100° + y) + 140° = 240° + y. Опять же, это невозможно.

Возможно, AOB и COD — это углы, наложенные друг на друга.

Если луч OB лежит внутри угла AOD, и AOB=100, COD=140.

Пусть OB — биссектриса угла AOD. Тогда ∠AOB = ∠BOD = 50°. Но ∠AOB=100. Значит, OB не биссектриса AOD.

Рассмотрим, что A, C, D, B — порядок лучей.

∠AOC, ∠COD=140, ∠DOB. ∠AOB = ∠AOC + ∠COD + ∠DOB = 100.

Это тоже невозможно, так как 140° уже больше 100°.

Вернемся к случаю, где A, C, B, D.

∠AOC = 100 - y. ∠COB = y. ∠BOD = 140 - y.

Биссектриса AOC — Ok. Биссектриса BOD — Ol.

∠kOC = (100-y)/2.

∠BOl = (140-y)/2.

Угол между биссектрисами ∠kOl = ∠kOC + ∠COB + ∠BOl = (100-y)/2 + y + (140-y)/2 = 50 - y/2 + y + 70 - y/2 = 120°.

Предположим, что A, B, D, C — порядок лучей.

∠AOB = 100°.

∠COD = 140°.

∠BOD = y.

∠AOD = ∠AOB + ∠BOD = 100 + y.

∠BOC = ∠BOD + ∠DOC = y + 140°.

∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 100 + y + 140 = 240 + y. Невозможно.

Пусть A, C, D, B — порядок лучей.

∠AOC, ∠COD=140, ∠DOB. ∠AOB = 100.

∠AOB = ∠AOC + ∠COD + ∠DOB. 100 = ∠AOC + 140 + ∠DOB. Невозможно.

Рассмотрим случай, когда AOB и COD частично перекрываются.

Пусть луч OB лежит внутри угла AOD.

∠COD = 140°, ∠AOB = 100°.

Пусть OC — биссектриса ∠AOD. Тогда ∠AOC = ∠COD = 140°/2 = 70°.

Пусть OD — биссектриса ∠AOB. Это невозможно.

Если угол COD = 140°, и внутри него находится AOB=100. Это может означать, что AOB является частью COD.

Рассмотрим, что A, B, C, D — лучи.

∠COD = 140°.

∠AOB = 100°.

∠BOC = y.

∠AOC = 100° + y.

∠BOD = y + 140°.

∠AOD = ∠AOC + ∠COD = 100° + y + 140° = 240° + y. Невозможно.

Пусть A, C, B, D.

∠AOC = x. ∠COB = y. ∠BOD = z.

∠AOB = x + y = 100°.

∠COD = y + z = 140°.

∠AOD = x + y + z = 100° + z. И ∠AOD = x + 140°.

Биссектриса AOC — Ok. Биссектриса BOD — Ol.

∠AOk = ∠kOC = x/2.

∠BOl = ∠lOD = z/2.

Угол между биссектрисами ∠kOl = ∠kOC + ∠COB + ∠BOl = x/2 + y + z/2.

Подставим x = 100 - y и z = 140 - y.

∠kOl = (100 - y)/2 + y + (140 - y)/2 = 50 - y/2 + y + 70 - y/2 = 120°.

Ответ: 120°