10. Федя выписал на доску четырехзначное число, кратное 45, а затем стер несколько цифр. На доске осталась запись *88*. Какое число мог изначально написать Федя?

Решение:

1. Условия делимости на 45: Число, кратное 45, должно делиться одновременно на 5 и на 9.
2. Делимость на 5: Число должно оканчиваться на 0 или 5.
3. Делимость на 9: Сумма цифр числа должна делиться на 9.
4. Осталась запись *88*: Мы знаем, что число четырехзначное, и две его цифры — 8 и 8. Обозначим неизвестные цифры как 'a' и 'b', чтобы число выглядело так:

   a _ b 8 8

   (если * означает первую цифру, а 88 - последние две) или

   * 8 8 *

   (если * - это неизвестные цифры).
5. Рассмотрим случай, когда число имеет вид:

   a88b

6. Условие делимости на 5: 'b' должно быть 0 или 5.
7. Случай 1: b = 0. Число имеет вид

   a880

   .
8. Сумма цифр:

   \[ a + 8 + 8 + 0 = a + 16 \]

   .
9. Чтобы сумма делилась на 9,

   a + 16

   должно быть кратно 9.
10. Возможные значения для

    a + 16

    : 18, 27, ...
11. Если

    a + 16 = 18

    , то

    a = 2

    . Число: 2880.
12. Если

    a + 16 = 27

    , то

    a = 11

    . Это не цифра.
13. Значит, одно из возможных чисел — 2880.
14. Случай 2: b = 5. Число имеет вид

    a885

    .
15. Сумма цифр:

    \[ a + 8 + 8 + 5 = a + 21 \]

    .
16. Чтобы сумма делилась на 9,

    a + 21

    должно быть кратно 9.
17. Возможные значения для

    a + 21

    : 27, 36, ...
18. Если

    a + 21 = 27

    , то

    a = 6

    . Число: 6885.
19. Если

    a + 21 = 36

    , то

    a = 15

    . Это не цифра.
20. Значит, еще одно возможное число — 6885.
21. Рассмотрим случай, когда число имеет вид:

    8a8b

22. Условие делимости на 5: 'b' должно быть 0 или 5.
23. Случай 1: b = 0. Число имеет вид

    8a80

    .
24. Сумма цифр:

    \[ 8 + a + 8 + 0 = a + 16 \]

    .
25. Чтобы сумма делилась на 9,

    a + 16

    должно быть кратно 9.
26. Если

    a + 16 = 18

    , то

    a = 2

    . Число: 8280.
27. Случай 2: b = 5. Число имеет вид

    8a85

    .
28. Сумма цифр:

    \[ 8 + a + 8 + 5 = a + 21 \]

    .
29. Чтобы сумма делилась на 9,

    a + 21

    должно быть кратно 9.
30. Если

    a + 21 = 27

    , то

    a = 6

    . Число: 8685.
31. Рассмотрим случай, когда число имеет вид:

    88ab

32. Условие делимости на 5: 'b' должно быть 0 или 5.
33. Случай 1: b = 0. Число имеет вид

    88a0

    .
34. Сумма цифр:

    \[ 8 + 8 + a + 0 = a + 16 \]

    .
35. Чтобы сумма делилась на 9,

    a + 16

    должно быть кратно 9.
36. Если

    a + 16 = 18

    , то

    a = 2

    . Число: 8820.
37. Случай 2: b = 5. Число имеет вид

    88a5

    .
38. Сумма цифр:

    \[ 8 + 8 + a + 5 = a + 21 \]

    .
39. Чтобы сумма делилась на 9,

    a + 21

    должно быть кратно 9.
40. Если

    a + 21 = 27

    , то

    a = 6

    . Число: 8865.
41. Возможные исходные числа: 2880, 6885, 8280, 8685, 8820, 8865.
42. Задача спрашивает, какое число мог изначально написать Федя. Любое из этих чисел подходит. Выберем одно из них.

Ответ: 2880