10. Find the measure of angle CBA.

Решение:

• В треугольнике ABC стороны AC и BC отмечены одинаковыми штрихами, следовательно, треугольник равнобедренный (AC = BC).
• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Углы при основании — ∠CAD и ∠CBD.
• Однако, на рисунке указано, что угол BDA = 60°.
• Рассмотрим треугольник ABD. Стороны AB и BD отмечены одинаковыми штрихами, следовательно, треугольник ABD равнобедренный (AB = BD).
• В равнобедренном треугольнике ABD углы при основании AD равны: ∠BAD = ∠BDA = 60°.
• Сумма углов в треугольнике ABD: ∠ABD + ∠BAD + ∠BDA = 180°.
• ∠ABD + 60° + 60° = 180°.
• ∠ABD = 180° - 120° = 60°.
• Так как все углы в треугольнике ABD равны 60°, то треугольник ABD равносторонний. Значит AB = BD = AD.
• В равнобедренном треугольнике ABC, AC = BC.
• Угол ∠CAD = 60°.
• Так как AC = BC, то ∠CBA = ∠CAB.
• ∠CAB = ∠CAD + ∠DAB = 60° + 60° = 120°. Это противоречит тому, что углы при основании равны.
• Пересмотрим условие: одинаковые штрихи на AC и BC означают AC = BC. одинаковые штрихи на AB и BD означают AB = BD.
• В треугольнике ABD, ∠BDA = 60°. Так как AB = BD, то ∠BAD = ∠BDA = 60°. Следовательно, ∠ABD = 180° - 60° - 60° = 60°. Треугольник ABD равносторонний.
• В треугольнике ABC, AC = BC. Значит, углы при основании AB равны: ∠CAB = ∠CBA.
• Угол ∠CAB = ∠CAD + ∠DAB = ∠CAD + 60°.
• Угол ∠CBA = ∠ABD + ∠CBD = 60° + ∠CBD.
• Так как ∠CAB = ∠CBA, то ∠CAD + 60° = 60° + ∠CBD, что означает ∠CAD = ∠CBD.
• Но на рисунке показано, что точка A лежит на отрезке CD, и угол BDA = 60°.
• Если треугольник ABC равнобедренный с AC = BC, то углы при основании AB равны, то есть ∠CAB = ∠CBA.
• Рассмотрим треугольник BDC. В нем ∠BDA = 60°, значит ∠BDC = 60°.
• В треугольнике ABC, AC=BC. Угол при основании AB.
• Если AB=BD, то треугольник ABD равнобедренный. Если ∠BDA = 60°, то ∠BAD = 60°, ∠ABD = 60°.
• Значит AB = BD = AD.
• Так как AC = BC, то треугольник ABC равнобедренный.
• Угол ∠CBA = ∠CAB.
• ∠CAB = ∠CAD + ∠DAB = ∠CAD + 60°.
• ∠CBA = ∠ABD + ∠CBD = 60° + ∠CBD.
• ∠CAD + 60° = 60° + ∠CBD → ∠CAD = ∠CBD.
• Если ∠CAD = ∠CBD, и ∠BAD = ∠BDA = 60°, ∠ABD = 60°, то это возможно.
• В треугольнике ABC, AC=BC. AB=BD=AD.
• Угол ∠CBA = ∠CAB.
• Пусть ∠CBA = x. Тогда ∠CAB = x.
• В треугольнике ABD, все углы по 60°, значит AB=BD=AD.
• В треугольнике ABC, AC=BC.
• Угол ∠CBA = 60°.
• Угол ∠CAB = ∠CAD + ∠DAB = ∠CAD + 60°.
• Так как ∠CBA = ∠CAB, то 60° = ∠CAD + 60°. Отсюда ∠CAD = 0, что невозможно.
• Ошибка в предположении.
• Вернемся к равнобедренному треугольнику ABC с AC = BC. Тогда ∠CAB = ∠CBA.
• В треугольнике ABD, AB = BD (одинаковые штрихи). ∠BDA = 60°. Следовательно, ∠BAD = ∠BDA = 60°, и ∠ABD = 60°. Треугольник ABD равносторонний. AB = BD = AD.
• Так как AC = BC, то ∠CAB = ∠CBA.
• Угол ∠CAB = ∠CAD + ∠DAB = ∠CAD + 60°.
• Угол ∠CBA = ∠ABD + ∠CBD = 60° + ∠CBD.
• Так как ∠CAB = ∠CBA, то ∠CAD + 60° = 60° + ∠CBD, что означает ∠CAD = ∠CBD.
• Но точка D лежит между A и C.
• В равнобедренном треугольнике ABC (AC=BC), углы при основании AB равны: ∠CAB = ∠CBA.
• В треугольнике ABD, AB=BD, ∠BDA = 60°. Следовательно, ∠BAD = 60°, ∠ABD = 60°. Треугольник ABD равносторонний.
• Угол ∠CBA = ∠ABD + ∠DBC = 60° + ∠DBC.
• Угол ∠CAB = ∠CAD + ∠DAB = ∠CAD + 60°.
• Так как ∠CAB = ∠CBA, то ∠CAD + 60° = 60° + ∠DBC. Следовательно, ∠CAD = ∠DBC.
• Сумма углов в треугольнике ABC: ∠ACB + ∠CAB + ∠CBA = 180°.
• ∠ACB + x + x = 180°.
• ∠ACB = 180° - 2x.
• Рассмотрим треугольник BCD. Угол ∠BDC = 180° - ∠BDA = 180° - 60° = 120°.
• В треугольнике BCD: ∠CBD + ∠BCD + ∠BDC = 180°.
• ∠CBD + ∠ACB + 120° = 180°.
• ∠CBD + (180° - 2x) + 120° = 180°.
• ∠CBD + 180° - 2x + 120° = 180°.
• ∠CBD - 2x + 120° = 0.
• ∠CBD = 2x - 120°.
• Мы знаем, что ∠CBA = x, и ∠CBA = 60° + ∠CBD.
• x = 60° + (2x - 120°).
• x = 60° + 2x - 120°.
• x = 2x - 60°.
• 60° = 2x - x.
• x = 60°.
• Значит, ∠CBA = 60°.

Ответ: ∠CBA = 60°