10. Исследуйте функцию f(x) = 16√x - ln x² + 7 на монотонность и экстремумы.

Решение:

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ):
   • √x определен при x ≥ 0.
   • ln x² определен при x² > 0, что означает x ≠ 0.
   • Объединяя условия, ОДЗ: x > 0.
2. Найдем производную функции:
   • f'(x) = (16√x)' - (ln x²)' + (7)'
   • (16√x)' = 16 * (1/2√x) = 8/√x
   • (ln x²)' = (1/x²) * (2x) = 2/x
   • f'(x) = 8/√x - 2/x
3. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
   • 8/√x - 2/x = 0
   • 8/√x = 2/x
   • 8x = 2√x
   • 4x = √x
   • Возведем обе части в квадрат:
   • (4x)² = (√x)²
   • 16x² = x
   • 16x² - x = 0
   • x(16x - 1) = 0
   • x = 0 или 16x - 1 = 0 ⇒ x = 1/16
4. Учитывая ОДЗ (x > 0), критическая точка только одна: x = 1/16.
5. Исследуем знак производной на интервалах (0, 1/16) и (1/16, ∞):
   • На интервале (0, 1/16): Возьмем x = 1/32.
   • f'(1/32) = 8/√(1/32) - 2/(1/32) = 8√32 - 64 = 8 * 4√2 - 64 = 32√2 - 64. Так как √2 ≈ 1.414, 32√2 ≈ 45.2. Следовательно, 32√2 - 64 < 0. Функция убывает.
   • На интервале (1/16, ∞): Возьмем x = 1.
   • f'(1) = 8/√1 - 2/1 = 8 - 2 = 6 > 0. Функция возрастает.
6. Вывод о монотонности:
   • Функция убывает на интервале (0, 1/16].
   • Функция возрастает на интервале [1/16, ∞).
7. Определим экстремумы:
   • В точке x = 1/16 производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, это точка минимума.
   • Найдем значение функции в точке минимума:
   • f(1/16) = 16√(1/16) - ln((1/16)²) + 7
   • f(1/16) = 16 * (1/4) - ln(1/256) + 7
   • f(1/16) = 4 - ln(2^-8) + 7
   • f(1/16) = 11 - (-8 ln 2)
   • f(1/16) = 11 + 8 ln 2

Ответ: Функция убывает на (0, 1/16] и возрастает на [1/16, ∞). Точка минимума: x = 1/16, f(1/16) = 11 + 8 ln 2.