7. Решите уравнение 11 – 3^x = √3^x – 5 .

Решение:

1. Сделаем замену переменной:
   • Пусть t = 3^x. Так как 3^x всегда больше 0, то t > 0.
   • Уравнение примет вид: 11 - t = √t - 5
2. Перенесем все члены в одну сторону и приведем подобные:
   • 11 - t + 5 - √t = 0
   • 16 - t - √t = 0
3. Теперь сделаем еще одну замену:
   • Пусть y = √t. Тогда y² = t. Уравнение станет:
   • 16 - y² - y = 0
   • y² + y - 16 = 0
4. Решим квадратное уравнение относительно y, используя дискриминант:
   • a = 1, b = 1, c = -16
   • D = b² - 4ac = 1² - 4(1)(-16) = 1 + 64 = 65
   • y₁ = (-b + √D) / 2a = (-1 + √65) / 2
   • y₂ = (-b - √D) / 2a = (-1 - √65) / 2
5. Вернемся к переменной t:
   • Так как y = √t, то y должно быть неотрицательным. Следовательно, y₂ = (-1 - √65) / 2 нам не подходит.
   • Оставим только y₁ = (-1 + √65) / 2.
   • t = y² = ((-1 + √65) / 2)² = (1 - 2√65 + 65) / 4 = (66 - 2√65) / 4 = (33 - √65) / 2
6. Вернемся к переменной x:
   • 3^x = t = (33 - √65) / 2
   • x = log₃((33 - √65) / 2)

Ответ: x = log₃((33 - √65) / 2).