8. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения 3cos2x + 8cosx + 5 = 0.

Решение:

1. Используем формулу косинуса двойного угла: cos(2x) = 2cos²x - 1. Подставим ее в уравнение:
   • 3(2cos²x - 1) + 8cosx + 5 = 0
   • 6cos²x - 3 + 8cosx + 5 = 0
   • 6cos²x + 8cosx + 2 = 0
2. Сократим уравнение на 2:
   • 3cos²x + 4cosx + 1 = 0
3. Сделаем замену переменной: пусть u = cosx. Тогда:
   • 3u² + 4u + 1 = 0
4. Решим квадратное уравнение относительно u:
   • D = 4² - 4(3)(1) = 16 - 12 = 4
   • √D = 2
   • u₁ = (-4 + 2) / (2 * 3) = -2 / 6 = -1/3
   • u₂ = (-4 - 2) / (2 * 3) = -6 / 6 = -1
5. Вернемся к переменной x:
   • Случай 1: cosx = -1/3
     • x = ±arccos(-1/3) + 2πn, где n - целое число.
   • Случай 2: cosx = -1
     • x = π + 2πk, где k - целое число.
6. Найдем наибольший отрицательный корень:
   • В случае 2, при k = -1, x = π + 2π(-1) = π - 2π = -π.
   • В случае 1, arccos(-1/3) находится между π/2 и π.
   • Если n = -1, то x = -arccos(-1/3) - 2π. Это будет более отрицательное число, чем -π.
   • Если n = 0, то x = arccos(-1/3) (положительное) или x = -arccos(-1/3).
   • Сравним -arccos(-1/3) и -π. Так как arccos(-1/3) < π, то -arccos(-1/3) > -π.
   • Наибольшим отрицательным корнем будет -π.

Ответ: -π.