5. Найдите f'(-3/5), если f(x) = 4x²e^5x+3.

Решение:

1. Найдем производную функции f(x) = 4x²e^5x+3, используя правило произведения и правило дифференцирования сложной функции:
   • f'(x) = (4x²)'.e^5x+3 + 4x².(e^5x+3)'
   • (4x²)' = 8x
   • (e^5x+3)' = e^5x+3 ⋅ (5x+3)' = e^5x+3 ⋅ 5 = 5e^5x+3
   • f'(x) = 8x ⋅ e^5x+3 + 4x² ⋅ 5e^5x+3
   • f'(x) = e^5x+3(8x + 20x²)
2. Подставим x = -3/5 в найденную производную:
   • f'(-3/5) = e^5(-3/5)+3(8(-3/5) + 20(-3/5)²)
   • f'(-3/5) = e^-3+3( -24/5 + 20(9/25) )
   • f'(-3/5) = e⁰( -24/5 + 20⋅9/25 )
   • f'(-3/5) = 1 ⋅ ( -24/5 + 180/25 )
   • f'(-3/5) = -24/5 + 36/5 (сократили 180/25 на 5)
   • f'(-3/5) = 12/5

Ответ: 12/5.