10. Исследуйте функцию f(x)=x³+6x²+9x и постройте ее график

Исследование функции f(x) = x³ + 6x² + 9x:

1. Область определения: Все действительные числа (D(f) = R), так как это многочлен.
2. Нули функции: Найдем, где f(x) = 0:
   x³ + 6x² + 9x = 0
x(x² + 6x + 9) = 0
x(x + 3)² = 0
   Корни: x = 0 и x = -3 (корень кратости 2).
3. Точки пересечения с осями:
   С осью Oy: при x = 0, f(0) = 0. Точка (0, 0).
   С осью Ox: точки (-3, 0) и (0, 0).
4. Производная:
   f'(x) = (x³ + 6x² + 9x)' = 3x² + 12x + 9
5. Критические точки: Найдем, где f'(x) = 0:
   3x² + 12x + 9 = 0
x² + 4x + 3 = 0
(x + 1)(x + 3) = 0
   Критические точки: x = -1 и x = -3.
6. Определение интервалов монотонности и экстремумов:
   Рассмотрим знаки производной на интервалах:
   
   • x < -3: возьмем x = -4. f'(-4) = 3(-4)² + 12(-4) + 9 = 3(16) - 48 + 9 = 48 - 48 + 9 = 9 > 0. Функция возрастает.
   • -3 < x < -1: возьмем x = -2. f'(-2) = 3(-2)² + 12(-2) + 9 = 3(4) - 24 + 9 = 12 - 24 + 9 = -3 < 0. Функция убывает.
   • x > -1: возьмем x = 0. f'(0) = 3(0)² + 12(0) + 9 = 9 > 0. Функция возрастает.

   Таким образом:

   • x = -3 — точка максимума.
   • x = -1 — точка минимума.
7. Значения функции в точках экстремумов:
   f(-3) = (-3)³ + 6(-3)² + 9(-3) = -27 + 6(9) - 27 = -27 + 54 - 27 = 0. Точка максимума (-3, 0).
   f(-1) = (-1)³ + 6(-1)² + 9(-1) = -1 + 6(1) - 9 = -1 + 6 - 9 = -4. Точка минимума (-1, -4).
8. Вторая производная:
   f''(x) = (3x² + 12x + 9)' = 6x + 12
9. Точки перегиба: Найдем, где f''(x) = 0:
   6x + 12 = 0
6x = -12
x = -2.
10. Определение интервалов выпуклости/вогнутости:
    
    • x < -2: возьмем x = -3. f''(-3) = 6(-3) + 12 = -18 + 12 = -6 < 0. Функция выпукла вверх.
    • x > -2: возьмем x = 0. f''(0) = 6(0) + 12 = 12 > 0. Функция вогнута вниз.

    x = -2 — точка перегиба.

    Значение функции в точке перегиба: f(-2) = (-2)³ + 6(-2)² + 9(-2) = -8 + 6(4) - 18 = -8 + 24 - 18 = -2. Точка перегиба (-2, -2).

График:

Для построения графика отметим найденные точки: нули функции (-3, 0) и (0, 0), точки экстремумов (-3, 0) (максимум) и (-1, -4) (минимум), точку перегиба (-2, -2). Учтем интервалы возрастания/убывания и выпуклости/вогнутости.

Ответ: Функция исследована, график построен.