7. Найдите промежутки монотонности функции, f(x)=x²-27x

Чтобы найти промежутки монотонности функции, нужно определить, где ее производная положительна (функция возрастает), а где отрицательна (функция убывает).

Найдем производную функции f(x) = x² - 27x:

f'(x) = (x²)' - (27x)'

f'(x) = 2x - 27

Теперь найдем, где производная равна нулю:

2x - 27 = 0

2x = 27

x = 27/2 = 13,5

Это точка, где функция меняет свое направление монотонности.

Рассмотрим знак производной на интервалах:

При x < 13,5 (например, x = 0): f'(0) = 2*0 - 27 = -27 (отрицательное значение), значит, функция убывает.

При x > 13,5 (например, x = 14): f'(14) = 2*14 - 27 = 28 - 27 = 1 (положительное значение), значит, функция возрастает.

Ответ: функция убывает на интервале (-∞; 13,5) и возрастает на интервале (13,5; +∞).