№ 10 Исследуйте функцию y = x² + 5x + 6 на монотонность и экстремумы.

Решение:

Исследуем функцию \( y = x^2 + 5x + 6 \) на монотонность и экстремумы.

1. Находим производную функции:
   

   \( y' = (x^2 + 5x + 6)' = 2x + 5 \)



2. Находим критические точки:
   

   Приравниваем производную к нулю, чтобы найти точки, где возможно изменение монотонности или экстремум:

   
   

   \( 2x + 5 = 0 \)
   \( 2x = -5 \)
   \( x = -2.5 \)



3. Определяем интервалы монотонности:
   

   Рассмотрим знак производной \( y' = 2x + 5 \) на интервалах, разделенных критической точкой \( x = -2.5 \).

   
   
   
   
   • При \( x < -2.5 \) (например, \( x = -3 \)): \( y' = 2(-3) + 5 = -6 + 5 = -1 \). Производная отрицательна, значит, функция убывает.
   
   
   • При \( x > -2.5 \) (например, \( x = -2 \)): \( y' = 2(-2) + 5 = -4 + 5 = 1 \). Производная положительна, значит, функция возрастает.
   
   


4. Определяем точки экстремума:
   

   Поскольку производная меняет знак с минуса на плюс в точке \( x = -2.5 \), в этой точке функция имеет минимум.

   
   

   Найдем значение функции в точке минимума:

   
   

   \( y_{min} = (-2.5)^2 + 5(-2.5) + 6 \)
   \( y_{min} = 6.25 - 12.5 + 6 \)
   \( y_{min} = -0.25 \)

Вывод:

• Функция убывает на интервале \( (-\infty; -2.5) \).


• Функция возрастает на интервале \( (-2.5; +\infty) \).


• Функция имеет минимум в точке \( x = -2.5 \), и значение минимума равно \( -0.25 \).

Ответ: Функция убывает на \( (-\infty; -2.5) \), возрастает на \( (-2.5; +\infty) \). Минимум в точке \( x = -2.5 \), \( y_{min} = -0.25 \).