№ 6 Найти cos a, tga, ctga, если sina = 1/2 и 0 < a < pi/2

Решение:

1. Находим cos a:
   

   Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \).

   
   

   \( \cos^2 a = 1 - \sin^2 a \)
   \( \cos^2 a = 1 - (1/2)^2 \)
   \( \cos^2 a = 1 - 1/4 \)
   \( \cos^2 a = 3/4 \)

   
   

   Так как \( 0 < a < \frac{\pi}{2} \) (угол \( a \) находится в первой четверти), то \( \cos a \) положителен.

   
   

   \( \cos a = \sqrt{3/4} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)



2. Находим tga:
   

   \( \text{tg } a = \frac{\sin a}{\cos a} \)
   \( \text{tg } a = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \)

   
   

   Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{3} \):

   
   

   \( \text{tg } a = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \)



3. Находим ctga:
   

   \( \text{ctg } a = \frac{1}{\text{tg } a} \)
   \( \text{ctg } a = \frac{1}{1/\sqrt{3}} = \sqrt{3} \)

Ответ: \( \cos a = \frac{\sqrt{3}}{2} \), \( \text{tg } a = \frac{\sqrt{3}}{3} \), \( \text{ctg } a = \sqrt{3} \)