10. Из сотрудников фирмы 16 побывали во Франции, 10 - в Италии, 6 - в Англии; в Англии и Италии - 5; в Англии и Франции - 6; во всех трех странах - 5 сотрудников. Сколько человек посетили и Италию, и Францию, если всего в фирме работают 19 человек, и каждый из них побывал хотя бы в одной из названных стран?

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Обозначим множества стран:

Ф - Франция, И - Италия, А - Англия.
Дано: \( |Ф| = 16, |И| = 10, |А| = 6 \)
\( |А ∩ И| = 5 \)
\( |А ∩ Ф| = 6 \)
\( |А ∩ И ∪ Ф| = 5 \) (это неверно, по условию "во всех трех странах")
\( |Ф ∩ И ∪ А| = 5 \) (ошибочно указано, должно быть \( |Ф ∩ И ∪ А| \) )
\( |Ф ∩ И ∪ А| = 5 \)
\( |Ф ∪ И ∪ А| = 19 \) (всего работают 19 человек, каждый побывал хотя бы в одной стране)
Используем формулу включения-исключения:
\( |Ф ∪ И ∪ А| = |Ф| + |И| + |А| - |Ф ∩ И| - |Ф ∩ А| - |И ∩ А| + |Ф ∩ И ∪ А| \)
\( 19 = 16 + 10 + 6 - |Ф ∩ И| - 6 - 5 + 5 \)
\( 19 = 32 - |Ф ∩ И| - 6 - 5 + 5 \)
\( 19 = 32 - 11 + |Ф ∩ И| \)
\( 19 = 21 + |Ф ∩ И| \)
\( |Ф ∩ И| = 19 - 21 \)
\( |Ф ∩ И| = -2 \)
Получилось отрицательное число, что невозможно. Проверим данные.
\( |Ф| = 16, |И| = 10, |А| = 6 \)
\( |А ∩ И| = 5 \)
\( |А ∩ Ф| = 6 \)
\( |Ф ∩ И ∪ А| = 5 \)
\( |Ф ∪ И ∪ А| = 19 \)
\( 19 = 16 + 10 + 6 - |Ф ∩ И| - 6 - 5 + 5 \)
\( 19 = 32 - |Ф ∩ И| - 6 \)
\( 19 = 26 - |Ф ∩ И| \)
\( |Ф ∩ И| = 26 - 19 \)
\( |Ф ∩ И| = 7 \)

Ответ: 7 человек.