8. В нашем классе 35 учеников. За первую четверть пятерки по русскому языку имели 14 учеников; по математике - 12; по истории - 23. По русскому и математике - 4; по математике и истории - 9; по русскому языку и истории - 5. Сколько учеников имеют пятерки по всем трем предметам, если в классе нет ни одного ученика, не имеющего пятерки хотя бы по одному из этих предметов?

Решение:

Обозначим множества учеников:

• Р - русский язык, М - математика, И - история.
• Дано: \( |Р| = 14, |М| = 12, |И| = 23 \)
• \( |Р ∩ М| = 4 \)
• \( |М ∩ И| = 9 \)
• \( |Р ∩ И| = 5 \)
• \( |Р ∪ М ∪ И| = 35 \) (нет ни одного ученика, не имеющего пятерки)
• Используем формулу включения-исключения:
• \( |Р ∪ М ∪ И| = |Р| + |М| + |И| - |Р ∩ М| - |Р ∩ И| - |М ∩ И| + |Р ∩ М ∩ И| \)
• \( 35 = 14 + 12 + 23 - 4 - 5 - 9 + |Р ∩ М ∩ И| \)
• \( 35 = 49 - 18 + |Р ∩ М ∩ И| \)
• \( 35 = 31 + |Р ∩ М ∩ И| \)
• \( |Р ∩ М ∩ И| = 35 - 31 \)
• \( |Р ∩ М ∩ И| = 4 \)

Ответ: 4 ученика.