7. В конкурсе красоты участвовали 22 девушки. Из них 10 было красивых, 12 - умных и 9 - добрых. Только 2 девушки были и красивыми, и умными; 6 девушек были умными и одновременно добрыми. Определите, сколько было красивых и в то же время добрых девушек, если я скажу вам, что среди участниц не оказалось ни одной умной, доброй и вместе с тем красивой девушки?

Решение:

Обозначим множества девушек:

• К - красивые, У - умные, Д - добрые.
• Дано: \( |К| = 10, |У| = 12, |Д| = 9 \)
• \( |К \cap У| = 2 \)
• \( |У \cap Д| = 6 \)
• \( |К \cap У \cap Д| = 0 \) (по условию, ни одной умной, доброй и красивой)
• \( |К ∪ У ∪ Д| = 22 \) (всего участниц)
• Используем формулу включения-исключения:
• \( |К ∪ У ∪ Д| = |К| + |У| + |Д| - |К ∩ У| - |К ∩ Д| - |У ∩ Д| + |К ∩ У ∩ Д| \)
• \( 22 = 10 + 12 + 9 - 2 - |К ∩ Д| - 6 + 0 \)
• \( 22 = 31 - 8 - |К ∩ Д| \)
• \( 22 = 23 - |К ∩ Д| \)
• \( |К ∩ Д| = 23 - 22 \)
• \( |К ∩ Д| = 1 \)

Ответ: 1 девушка.