10. Известно, что в равнобедренном треугольнике ABC AB = BC = 4. Найдите AC, если медиана AM = 3.

Так как AM — медиана к стороне BC, точка M — её середина, поэтому \(BM=MC=2\).

По теореме Аполлония для медианы AM:

\(AB^2+AC^2=2\left(AM^2+BM^2\right)\).

Подставим данные: \(16+AC^2=2(9+4)=26\), следовательно, \(AC^2=10\). Поскольку длина положительна, \(AC=\sqrt{10}\).

Ответ: \(\sqrt{10}\).