10. Какой длины надо взять железную проволоку площадью поперечного сечения 2 мм², чтобы ее сопротивление было таким же, как сопротивление алюминиевой проволоки длиной 1 км и сечением 4 мм²?

Решение:

Условия задачи:

Сопротивление железной проволоки \( R_{железа} \) должно быть равно сопротивлению алюминиевой проволоки \( R_{алюминия} \).

Формула сопротивления: \( R = \rho \times \frac{L}{S} \).

Удельное сопротивление железа \( \rho_{железа} \approx 0.10 \times 10^{-6} \text{ Ом} · \text{м} \).

Удельное сопротивление алюминия \( \rho_{алюминия} \approx 0.028 \times 10^{-6} \text{ Ом} · \text{м} \).

1. Запишем условие равенства сопротивлений: \( \rho_{железа} \times \frac{L_{железа}}{S_{железа}} = \rho_{алюминия} \times \frac{L_{алюминия}}{S_{алюминия}} \).
2. Выразим длину железной проволоки: \( L_{железа} = \frac{\rho_{алюминия} \times L_{алюминия} \times S_{железа}}{\rho_{железа} \times S_{алюминия}} \).
3. Переведём единицы измерения:
• Длина алюминиевой проволоки: \( L_{алюминия} = 1 \text{ км} = 1000 \text{ м} \).
• Площадь поперечного сечения: \( S_{железа} = 2 \text{ мм}^2 \), \( S_{алюминия} = 4 \text{ мм}^2 \). (Отношение площадей \( \frac{S_{железа}}{S_{алюминия}} = \frac{2}{4} = 0.5 \)).
4. Подставим значения:
• \( L_{железа} = \frac{(0.028 \times 10^{-6} \text{ Ом} · \text{м}) \times 1000 \text{ м} \times 2 \text{ мм}^2}{(0.10 \times 10^{-6} \text{ Ом} · \text{м}) \times 4 \text{ мм}^2} \).
• \( L_{железа} = \frac{0.028 \times 1000 \times 2}{0.10 \times 4} \text{ м} = \frac{56}{0.4} \text{ м} = 140 \text{ м} \).

Ответ: 140 м.