10. \(\left(3\cdot|x+1|+\frac{1}{3}\right)^2=6(x+1)^2\)

Положим \(y=|x+1|\), где \(y\ge 0\). Тогда \((3y+\frac{1}{3})^2=6y^2\). Левая часть перед возведением в квадрат положительна, поэтому должно выполняться \(3y+\frac{1}{3}=\sqrt{6}\,y\).

Отсюда \((\sqrt{6}-3)y=\frac{1}{3}\). Но \(\sqrt{6}-3<0\), а при \(y\ge0\) левая часть неположительна. Равенство невозможно.

Ответ: корней нет.