10. \((\log_6 x)^2+2\log_{16}x=4\log_6\frac{1}{6}\)

1. Область допустимых значений: \(x>0\). Положим \(t=\log_6 x\), а \(a=\log_{16}6\). Тогда \(\log_{16}x=at\), а \(\log_6\frac{1}{6}=-1\).
2. Уравнение принимает вид \(t^2+2at=-4\), или \(t^2+2at+4=0\).
3. Для действительных корней дискриминант должен быть неотрицательным. Здесь \(D=4a^2-16\). Поскольку \(16<6^2=36\), имеем \(a=\log_{16}6<\frac{1}{2}\); также \(a>0\). Поэтому \(D<1-16<0\).
4. Действительных значений \(t\), а значит и допустимых значений \(x\), нет.

Ответ: действительных решений нет.