10. На отрезке AB выбрана точка C так, что AC = 60 и BC = 27. Построена окружность с центром A, проходящая через C. Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки B к этой окружности.

Радиус окружности равен \(AC=60\). Так как точка C лежит на отрезке AB, имеем:

\[AB=AC+CB=60+27=87.\]

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Поэтому длина касательной \(BT\) находится из прямоугольного треугольника:

\[BT^2=AB^2-AC^2=87^2-60^2=7569-3600=3969.\]

\[BT=\sqrt{3969}=63.\]

Ответ: 63