9. Отрезок AB = 72 касается окружности радиуса 54 с центром O в точке B. Окружность пересекает отрезок AO в точке D. Найдите AD.

По теореме о касательной и секущей:

\[AB^2=AD\cdot AE,\]

где E — вторая точка пересечения секущей AO с окружностью. Так как секущая проходит через центр O, отрезок DE является диаметром:

\[DE=2\cdot54=108,\qquad AE=AD+108.\]

Пусть \(AD=x\). Тогда:

\[72^2=x(x+108),\]

\[5184=x^2+108x,\]

\[x^2+108x-5184=0.\]

Положительный корень:

\[x=36.\]

Ответ: 36