10. На рисунке параллелограмм ABCD с диагональю BD. ∠1 : ∠2 = 1 : 3, ∠A = 60°, P_ABCD = 30. BC = ?

Соседние углы параллелограмма supplementary, поэтому \(\angle B=180°-60°=120°\). Диагональ BD делит угол B на ∠1 и ∠2 в отношении 1 : 3. Всего 4 равные доли, значит, \(\angle1=30°\), \(\angle2=90°\).

В треугольнике ABD углы A, B и D равны 60°, 90° и 30°. Это прямоугольный треугольник, где AB — катет напротив угла 30°, поэтому \(AB=AD/2\). Кроме того, AD = BC.

Из периметра: \(2(AB+BC)=30\), то есть \(AB+AD=15\). Подставим \(AB=AD/2\): \(AD/2+AD=15\), откуда \(AD=10\). Следовательно, BC = 10.

Ответ: BC = 10.