10. Найдите наименьшее значение функции \( y = x^3 - 27x \) на отрезке \( [0; 4] \).

Решение:

1. Найдем производную функции:
   \( y' = (x^3 - 27x)' = 3x^2 - 27 \).
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
   \( 3x^2 - 27 = 0 \)
   \( 3x^2 = 27 \)
   \( x^2 = 9 \)
   \( x = \pm 3 \).
3. Проверим, попадают ли критические точки в заданный отрезок \( [0; 4] \):
   \( x = 3 \) принадлежит отрезку \( [0; 4] \).
   \( x = -3 \) не принадлежит отрезку \( [0; 4] \).
4. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:
   
   • При \( x = 0 \): \( y = 0^3 - 27 \cdot 0 = 0 \).
   • При \( x = 3 \): \( y = 3^3 - 27 \cdot 3 = 27 - 81 = -54 \).
   • При \( x = 4 \): \( y = 4^3 - 27 \cdot 4 = 64 - 108 = -44 \).
5. Сравним полученные значения:
   Наименьшее значение функции на отрезке \( [0; 4] \) равно \( -54 \).

Ответ: -54.