12. Решите уравнение: \( 2\sin(x+\frac{\pi}{3}) + \cos 2x = \sqrt{3}\cos x + 1 \).

Решение:

1. Перепишем уравнение:
   \( 2\sin(x+\frac{\pi}{3}) + \cos 2x = \sqrt{3}\cos x + 1 \).
2. Воспользуемся формулой \( \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x \) и \( \sin(x+\frac{\pi}{3}) = \sin x \cos \frac{\pi}{3} + \cos x \sin \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x \):
   \( 2(\frac{1}{2}\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x) + (1 - 2\sin^2 x) = \sqrt{3}\cos x + 1 \)
   \( \sin x + \sqrt{3}\cos x + 1 - 2\sin^2 x = \sqrt{3}\cos x + 1 \).
3. Упростим уравнение:
   \( \sin x - 2\sin^2 x = 0 \)
   \( \sin x(1 - 2\sin x) = 0 \).
4. Рассмотрим два случая:
   
   • Случай 1: \( \sin x = 0 \)
     \( x = \pi k \), где \( k \) — любое целое число.
   • Случай 2: \( 1 - 2\sin x = 0 \)
     \( 2\sin x = 1 \)
     \( \sin x = \frac{1}{2} \)
     \( x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n \), где \( n \) — любое целое число.

Ответ: \( x = \pi k \) или \( x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n \), где \( k, n \) — целые числа.