14. Смешав 45-процентный и 97-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды получили 62-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 72-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 45-процентного раствора использовали для получения смеси?

Решение:

Пусть \( x \) — масса 45-процентного раствора (в кг), а \( y \) — масса 97-процентного раствора (в кг).

Первое условие:

Масса кислоты в первом растворе: \( 0.45x \).

Масса кислоты во втором растворе: \( 0.97y \).

Общая масса кислоты: \( 0.45x + 0.97y \).

Масса воды: \( 10 \text{ кг} \).

Общая масса смеси: \( x + y + 10 \).

Концентрация кислоты в смеси: \( 62 \% \).

Уравнение: \( \frac{0.45x + 0.97y}{x + y + 10} = 0.62 \)

\( 0.45x + 0.97y = 0.62(x + y + 10) \)
\( 0.45x + 0.97y = 0.62x + 0.62y + 6.2 \)
\( 0.97y - 0.62y = 0.62x - 0.45x + 6.2 \)
\( 0.35y = 0.17x + 6.2 \) (1)

Второе условие:

Масса кислоты в первом растворе: \( 0.45x \).

Масса кислоты во втором растворе: \( 0.97y \).

Масса 50-процентного раствора: \( 10 \text{ кг} \).

Масса кислоты в 50-процентном растворе: \( 10 \text{ кг} \times 0.50 = 5 \text{ кг} \).

Общая масса кислоты: \( 0.45x + 0.97y + 5 \).

Общая масса смеси: \( x + y + 10 \).

Концентрация кислоты в смеси: \( 72 \% \).

Уравнение: \( \frac{0.45x + 0.97y + 5}{x + y + 10} = 0.72 \)

\( 0.45x + 0.97y + 5 = 0.72(x + y + 10) \)
\( 0.45x + 0.97y + 5 = 0.72x + 0.72y + 7.2 \)
\( 0.97y - 0.72y = 0.72x - 0.45x + 7.2 - 5 \)
\( 0.25y = 0.27x + 2.2 \) (2)

Решим систему уравнений (1) и (2):

Из (1): \( y = \frac{0.17x + 6.2}{0.35} \).

Подставим во (2):

\( 0.25 \cdot \frac{0.17x + 6.2}{0.35} = 0.27x + 2.2 \)
\( \frac{0.25}{0.35} (0.17x + 6.2) = 0.27x + 2.2 \)
\( \frac{5}{7} (0.17x + 6.2) = 0.27x + 2.2 \)
\( \frac{0.85}{7}x + \frac{31}{7} = 0.27x + 2.2 \)
\( \approx 0.1214x + 4.4286 = 0.27x + 2.2 \)
\( 4.4286 - 2.2 = 0.27x - 0.1214x \)
\( 2.2286 = 0.1486x \)
\( x = \frac{2.2286}{0.1486} \approx 15 \).

Проверка:

Если \( x = 15 \), то из (1):

\( 0.35y = 0.17(15) + 6.2 \)
\( 0.35y = 2.55 + 6.2 \)
\( 0.35y = 8.75 \)
\( y = \frac{8.75}{0.35} = 25 \).

Первое условие:

Общая масса кислоты: \( 0.45 15 + 0.97 25 = 6.75 + 24.25 = 31 \).

Общая масса смеси: \( 15 + 25 + 10 = 50 \).

Концентрация: \( \frac{31}{50} = 0.62 = 62 \% \). (Верно)

Второе условие:

Общая масса кислоты: \( 0.45 15 + 0.97 25 + 5 = 6.75 + 24.25 + 5 = 36 \).

Общая масса смеси: \( 15 + 25 + 10 = 50 \).

Концентрация: \( \frac{36}{50} = 0.72 = 72 \% \). (Верно)

Ответ: 15 кг.