8. Через точку, лежащую на высоте прямого кругового конуса и делящую ее в отношении 1:2, считая от вершины конуса, проведена плоскость, параллельная его основанию и делящая конус на две части. Каков объём той части конуса, которая примыкает к его основанию, если объём всего конуса равен 54?

Решение:

Пусть \( H \) — высота большого конуса, а \( R \) — его радиус. Его объём \( V = \frac{1}{3}\pi R^2 H = 54 \).

Плоскость делит высоту в отношении 1:2 от вершины. Это значит, что высота малого конуса \( h = \frac{1}{3}H \), а высота усечённого конуса (нижняя часть) равна \( H - h = H - \frac{1}{3}H = \frac{2}{3}H \).

Малый конус, который отсекается плоскостью, подобен большому конусу. Коэффициент подобия по высоте равен \( k = \frac{h}{H} = \frac{\frac{1}{3}H}{H} = \frac{1}{3} \).

Отношение объёмов подобных тел равно кубу коэффициента подобия:

\( V_{малого} = k^3 V_{большого} \)
\( V_{малого} = (\frac{1}{3})^3 \u0015 54 \)
\( V_{малого} = \frac{1}{27} \u0015 54 \)
\( V_{малого} = 2 \).

Объём нижней части (усечённого конуса) равен разности объёма большого конуса и объёма малого конуса:

\( V_{нижняя} = V_{большого} - V_{малого} \)
\( V_{нижняя} = 54 - 2 \)
\( V_{нижняя} = 52 \).

Ответ: 52.