№10* Найдите объем прямой призмы АВСА1В1С1, если ∠ACB = 90°, ∠BAC = 60°, AB = 18, CB = ВВ1. сделать чертёж!

Решение:

Объём прямой призмы вычисляется по формуле \( V = S_{осн} \cdot h \), где \( S_{осн} \) — площадь основания, \( h \) — высота призмы.

Основание — треугольник \( \triangle ABC \).

Дано: \( \angle ACB = 90^{\circ} \), \( \angle BAC = 60^{\circ} \), \( AB = 18 \).

В \( \triangle ABC \): \( \angle ABC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике напротив угла в \( 30^{\circ} \) лежит катет, равный половине гипотенузы. Значит, \( AC = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9 \) см.

Найдем второй катет \( CB \) по теореме Пифагора или используя тангенс:

\( CB = AB \cdot \sin(60^{\circ}) = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3} \) см.

Или \( CB = AC \cdot \tan(60^{\circ}) = 9 \cdot \sqrt{3} = 9\sqrt{3} \) см.

Площадь основания \( S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CB = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 9\sqrt{3} = \frac{81\sqrt{3}}{2} \) см².

Высота призмы \( h = CB = 9\sqrt{3} \) см (по условию \( CB = BB_1 \), а \( BB_1 \) — высота прямой призмы).

Объём призмы: \( V = S_{осн} \cdot h = \frac{81\sqrt{3}}{2} \cdot 9\sqrt{3} = \frac{81 \cdot 9 \cdot 3}{2} = \frac{729 \cdot 3}{2} = \frac{2187}{2} = 1093.5 \) см³.

Ответ: 1093.5 см³.