№9* В правильной шестиугольной пирамиде боковое ребро равно 5, а сторона основания равна 4. Найдите объём пирамиды. сделать чертёж!

Решение:

Объём правильной шестиугольной пирамиды вычисляется по формуле \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h \).

Основание — правильный шестиугольник со стороной \( a = 4 \). Площадь правильного шестиугольника равна \( S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 \).

\( S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 4^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 16 = 24\sqrt{3} \) см².

Боковое ребро \( l = 5 \). Сторона основания \( a = 4 \).

Для нахождения высоты \( h \) пирамиды, рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, апофемой и радиусом описанной окружности, или апофемой и половиной стороны основания. В правильном шестиугольнике радиус описанной окружности равен стороне основания, \( R = a = 4 \).

Чтобы найти высоту, нужно найти апофему. В правильной шестиугольной пирамиде апофема \( k \) — это высота в боковой грани (равнобедренном треугольнике). Основание этой грани — сторона шестиугольника \( a = 4 \), боковые стороны — боковые рёбра \( l = 5 \).

По теореме Пифагора для половины основания и апофемы в боковой грани: \( k^2 + (a/2)^2 = l^2 \)

\( k^2 + (4/2)^2 = 5^2 \)

\( k^2 + 2^2 = 25 \)

\( k^2 + 4 = 25 \)

\( k^2 = 21 \) \( \implies \) \( k = \sqrt{21} \).

Теперь найдём высоту \( h \) пирамиды. Радиус вписанной окружности в основании (апофема шестиугольника) равен \( r = \frac{\sqrt{3}}{2} a = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 4 = 2\sqrt{3} \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды \( h \), радиусом вписанной окружности \( r \) и апофемой \( k \) боковой грани: \( h^2 + r^2 = k^2 \)

\( h^2 + (2\sqrt{3})^2 = (\sqrt{21})^2 \)

\( h^2 + 12 = 21 \)

\( h^2 = 9 \) \( \implies \) \( h = 3 \) см.

Теперь вычисляем объём:

\( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 24\sqrt{3} \cdot 3 = 24\sqrt{3} \) см³.

Ответ: \( 24\sqrt{3} \) см³.