№ 7* В прямой треугольной призме стороны основания равны 13, 20,21 см, а высота призмы равна 25 см. Вычислите площадь полной поверхности и объем призмы сделать чертёж!

Решение:

1. Объём призмы:

Объём призмы вычисляется по формуле \( V = S_{осн} \cdot h \), где \( S_{осн} \) — площадь основания, \( h \) — высота.

Основание — треугольник со сторонами \( a = 13 \) см, \( b = 20 \) см, \( c = 21 \) см. Высота призмы \( h = 25 \) см.

Для нахождения площади треугольника используем формулу Герона. Полупериметр \( p = \frac{13 + 20 + 21}{2} = \frac{54}{2} = 27 \) см.

\( S_{осн} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{27(27-13)(27-20)(27-21)} = \sqrt{27 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{3^3 \cdot (2 \cdot 7) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{2^2 \cdot 3^4 \cdot 7^2} = 2 \cdot 3^2 \cdot 7 = 2 \cdot 9 \cdot 7 = 126 \) см².

Объём призмы: \( V = 126 \cdot 25 = 3150 \) см³.

2. Площадь полной поверхности призмы:

Площадь полной поверхности призмы вычисляется по формуле \( S_{п.п.} = 2 S_{осн} + S_{бок} \), где \( S_{бок} \) — площадь боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности: \( S_{бок} = P_{осн} \cdot h \), где \( P_{осн} \) — периметр основания.

Периметр основания: \( P_{осн} = 13 + 20 + 21 = 54 \) см.

\( S_{бок} = 54 \cdot 25 = 1350 \) см².

\( S_{п.п.} = 2 \cdot 126 + 1350 = 252 + 1350 = 1602 \) см².

Ответ: Площадь полной поверхности — 1602 см², объём — 3150 см³.