10. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если AC = 15, BC = 8,5, ∠BAC = 60° и AC ⟂ BE.

В прямоугольном треугольнике ABE угол E равен 90°, а угол BAE равен 60°, поскольку E лежит на AC. Значит, ∠ABE = 30°.

В прямоугольном треугольнике ABE гипотенуза AB вдвое больше катета AE. Обозначим AE = x; тогда AB = 2x.

По теореме Пифагора для треугольника ABC: \(AB^2+BC^2=AC^2\), поэтому \(AB^2=15^2-8.5^2=153.75\) и \(AB=\frac{3\sqrt{205}}{2}\).

Периметр параллелограмма равен \(2(AB+BC)=2\left(\frac{3\sqrt{205}}{2}+8.5\right)=3\sqrt{205}+17\).

Ответ: \(17+3\sqrt{205}\approx 59.98\).