17. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если ∠ABC = 120°, диагонали AC и BD пересекаются в точке O, AO = OC, AC ⟂ OD и OD = 8.

Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому OD = OB = 8 и BD = 16.

Так как AC ⟂ BD, диагонали перпендикулярны. Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом, поэтому каждая сторона равна половине диагонали прямоугольного треугольника AOB.

Соседние углы параллелограмма в сумме дают 180°, значит, ∠DAB = 60°. В ромбе диагональ BD делит угол B пополам, а ∠ABC = 120°, поэтому ∠ABO = 60°. Треугольник AOB прямоугольный при O, следовательно, ∠BAO = 30°.

В прямоугольном треугольнике AOB катет OB, лежащий напротив угла 30°, равен половине гипотенузы AB. Поэтому AB = 16. Периметр равен \(4\cdot16=64\).

Ответ: 64.