10. Найдите, при каких значениях числа а функция $$y=x^3+5x^2+ax-2$$ возрастает для всех действительных xx.

Для того чтобы функция возрастала на всей числовой оси, ее производная должна быть неотрицательной для всех $$x$$ (то есть $$f'(x) ≥ 0$$ для всех $$x$$).

1. Найдем производную функции $$y = x^3 + 5x^2 + ax - 2$$.
2. $$y' = (x^3 + 5x^2 + ax - 2)' = 3x^2 + 10x + a$$.
3. Нам нужно, чтобы $$3x^2 + 10x + a ≥ 0$$ для всех действительных $$x$$.
4. Это квадратичная функция $$f(x) = 3x^2 + 10x + a$$, которая является параболой с ветвями вверх (так как коэффициент при $$x^2$$, равный 3, положителен).
5. Для того чтобы эта парабола всегда была выше или касалась оси Ox, ее дискриминант должен быть меньше или равен нулю ($$D ≤ 0$$).
6. Дискриминант квадратного уравнения $$Ax^2 + Bx + C = 0$$ вычисляется по формуле $$D = B^2 - 4AC$$.
7. В нашем случае $$A=3$$, $$B=10$$, $$C=a$$.
8. $$D = 10^2 - 4(3)(a) = 100 - 12a$$.
9. Приравниваем дискриминант к нулю или меньше:
10. $$100 - 12a ≤ 0$$.
11. $$100 ≤ 12a$$.
12. $$a ≥ \frac{100}{12}$$.
13. $$a ≥ \frac{25}{3}$$.

Ответ: $$a ≥ \frac{25}{3}$$