8. Составьте уравнение касательной к графику функции $$f(x)=\sqrt{x} + 3x$$ в точке с абсциссой $$x_0 = 1$$.

Уравнение касательной к графику функции $$f(x)$$ в точке $$x_0$$ имеет вид: $$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$$.

1. Найдем значение функции в точке $$x_0 = 1$$:
2. $$f(1) = \sqrt{1} + 3(1) = 1 + 3 = 4$$.
3. Найдем производную функции $$f(x) = \sqrt{x} + 3x$$.
4. $$f'(x) = (x^{1/2} + 3x)' = \frac{1}{2}x^{-1/2} + 3 = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 3$$.
5. Найдем значение производной в точке $$x_0 = 1$$:
6. $$f'(1) = \frac{1}{2\sqrt{1}} + 3 = \frac{1}{2} + 3 = 3.5$$.
7. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
8. $$y - 4 = 3.5(x - 1)$$.
9. $$y - 4 = 3.5x - 3.5$$.
10. $$y = 3.5x - 3.5 + 4$$.
11. $$y = 3.5x + 0.5$$.

Ответ: $$y = 3.5x + 0.5$$