10. Найдите промежутки убывания функции \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 1 \).

Решение:

Функция убывает на тех промежутках, где её производная отрицательна, то есть \( f'(x) < 0 \).

1. Найдем производную функции:
   • \( f'(x) = (2x^3 - 3x^2 - 1)' = 6x^2 - 6x \)
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
   • \( 6x^2 - 6x = 0 \)
   • \( 6x(x - 1) = 0 \)
3. Критические точки: \( x = 0 \) и \( x = 1 \). Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: \( (-\infty; 0) \), \( (0; 1) \) и \( (1; +\infty) \).
4. Определим знак производной на каждом интервале:
   • На интервале \( (-\infty; 0) \) (например, \( x = -1 \)): \( f'(-1) = 6(-1)^2 - 6(-1) = 6 + 6 = 12 > 0 \). На этом интервале функция возрастает.
   • На интервале \( (0; 1) \) (например, \( x = 0.5 \)): \( f'(0.5) = 6(0.5)^2 - 6(0.5) = 6(0.25) - 3 = 1.5 - 3 = -1.5 < 0 \). На этом интервале функция убывает.
   • На интервале \( (1; +\infty) \) (например, \( x = 2 \)): \( f'(2) = 6(2)^2 - 6(2) = 6(4) - 12 = 24 - 12 = 12 > 0 \). На этом интервале функция возрастает.
5. Функция убывает на интервале, где \( f'(x) < 0 \).

Ответ: \( x \in (0; 1) \).