4. Решите уравнение \( 3 \cdot 5^{2x-1} - 5^{2x+1} + 2 \cdot 5^{2x+2} = 228 \)

Решение:

1. Преобразуем члены уравнения, используя свойства степеней \( a^{m+n} = a^m \cdot a^n \) и \( a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} \):
   • \( 3 \cdot 5^{2x-1} = 3 \cdot \frac{5^{2x}}{5^1} = \frac{3}{5} \cdot 5^{2x} \)
   • \( 5^{2x+1} = 5^{2x} \cdot 5^1 = 5 \cdot 5^{2x} \)
   • \( 2 \cdot 5^{2x+2} = 2 \cdot 5^{2x} \cdot 5^2 = 2 \cdot 25 \cdot 5^{2x} = 50 \cdot 5^{2x} \)
2. Подставим преобразованные члены обратно в уравнение:
   • \( \frac{3}{5} \cdot 5^{2x} - 5 \cdot 5^{2x} + 50 \cdot 5^{2x} = 228 \)
3. Вынесем \( 5^{2x} \) за скобки:
   • \( 5^{2x} (\frac{3}{5} - 5 + 50) = 228 \)
   • \( 5^{2x} (\frac{3}{5} + 45) = 228 \)
   • \( 5^{2x} (\frac{3 + 45 \cdot 5}{5}) = 228 \)
   • \( 5^{2x} (\frac{3 + 225}{5}) = 228 \)
   • \( 5^{2x} \cdot \frac{228}{5} = 228 \)
4. Разделим обе части уравнения на 228:
   • \( \frac{5^{2x}}{5} = 1 \)
   • \( 5^{2x-1} = 1 \)
5. Так как \( 5^0 = 1 \), то:
   • \( 2x - 1 = 0 \)
   • \( 2x = 1 \)
   • \( x = \frac{1}{2} \)

Ответ: \( x = \frac{1}{2} \).