10) Найдите \(\sin(\alpha+\beta)\), если \(\sin\alpha\cos\beta=\frac13\), \(2 g\alpha=- g\beta\).

Обозначим \( g\alpha=x\). Тогда \( g\beta=-2x\). По формуле синуса суммы, если косинусы углов не равны нулю:

\(\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta=\sin\alpha\cos\beta(1+ g\alpha g\beta)\).

Следовательно, \(\sin(\alpha+\beta)=\frac13(1-2x^2)\). Однако заданное условие не определяет \(x^2\) однозначно: уравнение для тангенсов даёт лишь связь между \( g\alpha\) и \( g\beta\), а произведение \(\sin\alpha\cos\beta\) само по себе не задаёт значения тангенсов без дополнительного ограничения на углы или их четверти. Поэтому численный ответ однозначно найти нельзя.

Для завершения нужны дополнительные сведения об углах, например их диапазоны.