6.24. Найдите значение выражения. 1) $ g(\alpha+\beta)$, если $ g\alpha$ и $ g\beta$ — корни уравнения $x^2-4x+2=0$; 2) $\sin4\alpha$, если $ g\alpha$ — корень уравнения $8(t-t^3)=(1+t^2)^2$; 3) $ g\frac\alpha2+\ctg\frac\alpha2$, если $\cos(\alpha-\frac\pi4)=\frac{\sqrt2}{2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 6.24. Найдите значение выражения. 1) $ g(\alpha+\beta)$, если $ g\alpha$ и $ g\beta$ — корни уравнения…$ Фото задания

6.24. Найдите значение выражения. 1) $ g(\alpha+\beta)$, если $ g\alpha$ и $ g\beta$ — корни уравнения $x^2-4x+2=0$; 2) $\sin4\alpha$, если $ g\alpha$ — корень уравнения $8(t-t^3)=(1+t^2)^2$; 3) $ g\frac\alpha2+\ctg\frac\alpha2$, если $\cos(\alpha-\frac\pi4)=\frac{\sqrt2}{2}$.

Accepted Answer

1) По теореме Виета сумма корней равна $4$, произведение — $2$. Поэтому

$ g(\alpha+\beta)=\frac{ g\alpha+ g\beta}{1- g\alpha g\beta}=\frac4{1-2}=-4$.

2) По формуле $\sin4\alpha=\frac{4 g\alpha(1- g^2\alpha)}{(1+ g^2\alpha)^2}$. Условие даёт $8( g\alpha- g^3\alpha)=(1+ g^2\alpha)^2$, значит числитель формулы вдвое меньше знаменателя. Следовательно, $\sin4\alpha=\frac12$.

3) Из $\cos(\alpha-\frac\pi4)=\frac{\sqrt2}{2}$ следует $\alpha=0$ или $\alpha=\frac\pi2\pmod{2\pi}$. При $\alpha=0$ выражение не определено, поскольку $\ctg(\alpha/2)$ не существует. При $\alpha=\frac\pi2$ получаем $ g\frac\pi4+\ctg\frac\pi4=1+1=2$. Значит, условие без дополнительного ограничения допускает неопределённый случай; для допустимого значения выражение равно $2$.

Ответ: 1) $-4$; 2) $\frac12$; 3) $2$, если выражение определено.