9) Найдите значение выражения \(\sqrt3\cos^{-1}70^\circ-\cos^{-1}20^\circ\).

Здесь \(\cos^{-1}x\) понимаем как обратную величину \(1/\cos x\) (секанс), согласно школьному обозначению в тригонометрических выражениях.

Так как \(\cos70^\circ=\sin20^\circ\), получаем:

\(\sqrt3\cos^{-1}70^\circ-\cos^{-1}20^\circ=\frac{\sqrt3}{\sin20^\circ}-\frac1{\cos20^\circ}\).

Приведение к общему знаменателю даёт \(\frac{\sqrt3\cos20^\circ-\sin20^\circ}{\sin20^\circ\cos20^\circ}\). Числитель равен \(2\sin(60^\circ-20^\circ)=2\sin40^\circ\), знаменатель — \(\frac12\sin40^\circ\). Поэтому значение равно \(4\).

Ответ: \(4\).