10 Найдите точку максимума и максимум функции f(x) = x³ - 147x - 28 cos(4π/6). В ответ запишите их сумму

Решение:

Функция задана как \(f(x) = x^3 - 147x - 28 \cos(\frac{4\pi}{6})\). Заметим, что \(\frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}\). Следовательно, \(\cos(\frac{4\pi}{6}) = \cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}\).

Тогда функция принимает вид:

\[ f(x) = x^3 - 147x - 28 \left(-\frac{1}{2}\right) \]
\[ f(x) = x^3 - 147x + 14 \]

Для нахождения точек максимума и минимума функции, найдём её производную:

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 147x + 14) = 3x^2 - 147 \]

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\[ 3x^2 - 147 = 0 \]

\(3x^2 = 147\)

\(x^2 = \frac{147}{3} = 49\)

\(x = \pm \sqrt{49} = \pm 7\).

Критические точки: \(x = 7\) и \(x = -7\).

Теперь определим, какая из них является точкой максимума, а какая — минимума, с помощью второй производной:

\[ f''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 147) = 6x \]

• При \(x = 7\): \(f''(7) = 6 \times 7 = 42\). Так как \(f''(7) > 0\), то \(x = 7\) — точка минимума.
• При \(x = -7\): \(f''(-7) = 6 \times (-7) = -42\). Так как \(f''(-7) < 0\), то \(x = -7\) — точка максимума.

Точка максимума: \(x_{max} = -7\).

Найдем значение функции в точке максимума (максимум функции):

\[ f(-7) = (-7)^3 - 147(-7) + 14 \]
\[ f(-7) = -343 + 1029 + 14 \]

\(f(-7) = 686 + 14 = 700\).

Максимум функции равен \(700\).

Нам нужно найти сумму точки максимума и максимума функции:

\[ -7 + 700 = 693 \]

Ответ: 693.