6 Найдите (в градусах) сумму различных корней уравнения cos² 5x - sin² 5x = 0 на промежутке (0°; 90°)

Решение:

Данное уравнение:

\[ \cos^2 5x - \sin^2 5x = 0 \]

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: \(\cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha\).

Применим эту формулу к нашему уравнению:

\[ \cos(2 × 5x) = 0 \]\[ \cos(10x) = 0 \]

Общее решение уравнения \(\cos \theta = 0\) имеет вид \(\theta = \frac{\pi}{2} + \pi n\), где \(n\) — целое число.

В нашем случае \(\theta = 10x\), поэтому:

\[ 10x = \frac{\pi}{2} + \pi n \]\[ x = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{10} \]

Переведём в градусы: \(\pi = 180^{\circ}\).

\[ x = \frac{180^{\circ}}{20} + \frac{180^{\circ} n}{10} \]\[ x = 9^{\circ} + 18^{\circ} n \]

Теперь найдём корни на промежутке \((0^{\circ}, 90^{\circ})\).

• При \(n=0\): \(x = 9^{\circ} + 18^{\circ} \times 0 = 9^{\circ}\). Этот корень входит в промежуток.
• При \(n=1\): \(x = 9^{\circ} + 18^{\circ} \times 1 = 27^{\circ}\). Этот корень входит в промежуток.
• При \(n=2\): \(x = 9^{\circ} + 18^{\circ} \times 2 = 9^{\circ} + 36^{\circ} = 45^{\circ}\). Этот корень входит в промежуток.
• При \(n=3\): \(x = 9^{\circ} + 18^{\circ} \times 3 = 9^{\circ} + 54^{\circ} = 63^{\circ}\). Этот корень входит в промежуток.
• При \(n=4\): \(x = 9^{\circ} + 18^{\circ} \times 4 = 9^{\circ} + 72^{\circ} = 81^{\circ}\). Этот корень входит в промежуток.
• При \(n=5\): \(x = 9^{\circ} + 18^{\circ} \times 5 = 9^{\circ} + 90^{\circ} = 99^{\circ}\). Этот корень не входит в промежуток.
• При \(n=-1\): \(x = 9^{\circ} + 18^{\circ} \times (-1) = 9^{\circ} - 18^{\circ} = -9^{\circ}\). Этот корень не входит в промежуток.

Различные корни уравнения на заданном промежутке: \(9^{\circ}, 27^{\circ}, 45^{\circ}, 63^{\circ}, 81^{\circ}\).

Найдем их сумму:

\[ 9^{\circ} + 27^{\circ} + 45^{\circ} + 63^{\circ} + 81^{\circ} = 225^{\circ} \]

Ответ: 225.