9 Найдите сумму квадратов корней уравнения 5√x² + 8x - 11 = 11 - 8x - x².

Решение:

Данное уравнение:

\[ 5\sqrt{x^2 + 8x - 11} = 11 - 8x - x^2 \]

Перенесём все члены в правую часть:

\[ 5\sqrt{x^2 + 8x - 11} = -(x^2 + 8x - 11) \]

Введём замену переменной: \(y = \sqrt{x^2 + 8x - 11}\). Тогда \(y^2 = x^2 + 8x - 11\). Уравнение примет вид:

\[ 5y = -y^2 \]

Перенесём всё в левую часть:

\[ y^2 + 5y = 0 \]

Вынесем \(y\) за скобки:

\[ y(y + 5) = 0 \]

Отсюда \(y = 0\) или \(y = -5\).

Так как \(y = \sqrt{x^2 + 8x - 11}\), то \(y \ge 0\). Следовательно, \(y = -5\) не является решением.

Рассмотрим случай \(y = 0\):

\[ \sqrt{x^2 + 8x - 11} = 0 \]

Возведём обе части в квадрат:

\[ x^2 + 8x - 11 = 0 \]

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \times 1 \times (-11) = 64 + 44 = 108 \]

Корни уравнения:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm \sqrt{108}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{36 \times 3}}{2} = \frac{-8 \pm 6\sqrt{3}}{2} = -4 \pm 3\sqrt{3} \]

Корни уравнения: \(x_1 = -4 + 3\sqrt{3}\) и \(x_2 = -4 - 3\sqrt{3}\).

Нам нужно найти сумму квадратов корней:

\[ x_1^2 + x_2^2 = (-4 + 3\sqrt{3})^2 + (-4 - 3\sqrt{3})^2 \]

Раскроем скобки:

\[ (-4 + 3\sqrt{3})^2 = (-4)^2 + 2(-4)(3\sqrt{3}) + (3\sqrt{3})^2 = 16 - 24\sqrt{3} + 27 = 43 - 24\sqrt{3} \]

\(\(-4 - 3\sqrt{3}\)^2 = (-4)^2 + 2(-4)\(-3\sqrt{3}\) + \(-3\sqrt{3}\)^2 = 16 + 24\(\sqrt{3}\) + 27 = 43 + 24\(\sqrt{3}\) \]

Сумма квадратов:

\[ (43 - 24\sqrt{3}) + (43 + 24\sqrt{3}) = 43 + 43 = 86 \]

Ответ: 86.