10. Найдите все трехзначные числа, которые в 12 раз больше суммы своих цифр.

Краткое пояснение:

Для решения этой задачи составим и решим алгебраическое уравнение, где неизвестным будет само трехзначное число, представленное через его цифры.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Представляем трехзначное число.
   Пусть искомое трехзначное число имеет вид \( 100a + 10b + c \), где \( a \) — цифра сотен (от 1 до 9), а \( b \) и \( c \) — цифры десятков и единиц соответственно (от 0 до 9).
2. Шаг 2: Составляем уравнение согласно условию задачи.
   Число в 12 раз больше суммы своих цифр: \( 100a + 10b + c = 12(a + b + c) \).
3. Шаг 3: Упрощаем уравнение.
   Раскроем скобки и перенесем все члены в одну сторону:
   \( 100a + 10b + c = 12a + 12b + 12c \)
   \( 100a - 12a + 10b - 12b + c - 12c = 0 \)
   \( 88a - 2b - 11c = 0 \)
   \( 88a = 2b + 11c \)
4. Шаг 4: Подбираем значения для цифр, учитывая ограничения.
   Начнем с перебора возможных значений для \( a \) (от 1 до 9).
   
   • Если \( a=1 \): \( 88 = 2b + 11c \).
     Так как \( b \) и \( c \) — цифры от 0 до 9, максимальное значение \( 2b + 11c \) будет, когда \( c=7 \) (11*7=77) и \( b=4 \) (2*4=8), тогда \( 77+8=85 \). Если \( c=8 \), то \( 11*8=88 \), тогда \( 2b=0 \), что означает \( b=0 \).
     Проверяем: \( a=1, b=0, c=8 \). Число: 108. Сумма цифр: \( 1+0+8=9 \). \( 108 = 12 * 9 \). Верно.
   • Если \( a=2 \): \( 88*2 = 176 = 2b + 11c \).
     Максимальное значение \( 2b + 11c \) = \( 2*9 + 11*9 = 18 + 99 = 117 \). Значение 176 недостижимо.
   • Для \( a > 1 \) значение \( 88a \) будет только увеличиваться, а максимальное значение \( 2b + 11c \) остается прежним (117). Поэтому других решений нет.

Ответ: 108