13. На сторонах угла BAC и на его биссектрисе отложены равные отрезки AB, AC и AD. Величина угла BDC равна 160°. Определите величину угла BAC.

Решение:

Пусть \( \beta = \text{угол } BAC \).

По условию, \( AB = AC = AD \). Пусть длина этого отрезка равна \( r \).

Рассмотрим треугольник \( ABD \). Так как \( AB = AD \), то \( \triangle ABD \) — равнобедренный. Углы при основании равны, то есть \( \text{угол } ABD = \text{угол } ADB \). Сумма углов в \( \triangle ABD \) равна 180°.

\[ \text{угол } ABD + \text{угол } ADB + \text{угол } BAD = 180° \]

\[ 2 \times \text{угол } ADB + \beta = 180° \]

\[ \text{угол } ADB = \frac{180° - \beta}{2} = 90° - \frac{\beta}{2} \]

Рассмотрим треугольник \( ACD \). Так как \( AC = AD \), то \( \triangle ACD \) — равнобедренный. Углы при основании равны, то есть \( \text{угол } ACD = \text{угол } ADC \). Сумма углов в \( \triangle ACD \) равна 180°.

\[ \text{угол } ACD + \text{угол } ADC + \text{угол } CAD = 180° \]

Угол \( CAD \) является частью угла \( BAC \) или совпадает с ним, в зависимости от того, как отложены точки. Если AD — биссектриса, то угол \( CAD \) не равен \( \beta \). Условие задачи говорит, что точки отложены на сторонах угла и на биссектрисе. Пусть AD лежит на биссектрисе угла BAC. Значит, \( \text{угол } BAD = \text{угол } CAD = \frac{\beta}{2} \).

Тогда для \( \triangle ACD \):

\[ 2 \times \text{угол } ADC + \frac{\beta}{2} = 180° \]

\[ \text{угол } ADC = \frac{180° - \frac{\beta}{2}}{2} = 90° - \frac{\beta}{4} \]

Угол \( BDC \) равен сумме углов \( ADB \) и \( ADC \):

\[ \text{угол } BDC = \text{угол } ADB + \text{угол } ADC \]

По условию, \( \text{угол } BDC = 160° \).

\[ 160° = (90° - \frac{\beta}{2}) + (90° - \frac{\beta}{4}) \]

\[ 160° = 180° - \frac{\beta}{2} - \frac{\beta}{4} \]

\[ \frac{\beta}{2} + \frac{\beta}{4} = 180° - 160° \]

\[ \frac{2\beta + \beta}{4} = 20° \]

\[ \frac{3\beta}{4} = 20° \]

\[ 3\beta = 80° \]

\[ \beta = \frac{80°}{3} \]

Таким образом, \( \text{угол } BAC = \frac{80°}{3} \).

Ответ: \(\frac{80°}{3}\).