10) Найдите значение sin α, если известно, что cos α = -40/41 и α ∈ III четверти.

Решение:

Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).

1. Подставим значение \( \cos \alpha \): \( \sin^2 \alpha + \left(-\frac{40}{41}\right)^2 = 1 \).
2. Вычислим квадрат косинуса: \( \sin^2 \alpha + \frac{1600}{1681} = 1 \).
3. Найдём \( \sin^2 \alpha \): \( \sin^2 \alpha = 1 - \frac{1600}{1681} = \frac{1681 - 1600}{1681} = \frac{81}{1681} \).
4. Извлечём корень: \( \sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{81}{1681}} = \pm \frac{9}{41} \).
5. По условию, \( \alpha \) принадлежит III четверти, где синус отрицателен.

Ответ: \( \sin \alpha = -\frac{9}{41} \).