22) Решите уравнение 4cosx - sin²x - 4 = 0.

Решение:

Данное тригонометрическое уравнение содержит синус и косинус. Преобразуем его, используя основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \), чтобы привести его к уравнению относительно одной тригонометрической функции.

1. Заменим \( \sin^2 x \) на \( 1 - \cos^2 x \): \( 4 \cos x - (1 - \cos^2 x) - 4 = 0 \).
2. Раскроем скобки: \( 4 \cos x - 1 + \cos^2 x - 4 = 0 \).
3. Приведём подобные члены: \( \cos^2 x + 4 \cos x - 5 = 0 \).
4. Сделаем замену переменной: пусть \( y = \cos x \). Тогда уравнение примет вид: \( y^2 + 4y - 5 = 0 \).
5. Решим квадратное уравнение относительно \( y \). Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 \).
6. Найдём корни \( y \): \( y_1 = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1 \). \( y_2 = \frac{-4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \).
7. Теперь вернёмся к замене \( y = \cos x \).
8. Первый случай: \( \cos x = 1 \). Это возможно, когда \( x = 2\pi n \), где \( n \) — любое целое число.
9. Второй случай: \( \cos x = -5 \). Это уравнение не имеет решений, так как значение косинуса всегда находится в пределах от -1 до 1, то есть \( -1 \leq \cos x \leq 1 \).

Ответ: \( x = 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).