10. Найти область определения функции: y = (81 - x^2)^(-5/8) - (x^2 + 4x - 21)^(2/9).

Решение:

Область определения функции определяется условиями, при которых выражение под корнем (если он есть) неотрицательно, и знаменатель (если он есть) не равен нулю. Также, для степенных функций с дробным показателем, основание должно быть положительным, если показатель не является целым положительным числом.

Рассмотрим первый член: \( (81 - x^2)^{-5/8} \).

Показатель степени \( -5/8 \) — дробный, поэтому основание степени должно быть строго положительным:

\( 81 - x^2 > 0 \)

\( x^2 < 81 \)

\( -9 < x < 9 \)

Рассмотрим второй член: \( (x^2 + 4x - 21)^{2/9} \).

Показатель степени \( 2/9 \) — дробный. Если числитель дробного показателя четный, то основание может быть любым действительным числом. В данном случае числитель равен 2 (четное число).

Таким образом, для второго члена ограничений нет, так как \( \sqrt[9]{(x^2 + 4x - 21)^2} \) определено для всех \( x \).

Общая область определения функции — это пересечение областей определения каждого члена. В данном случае, это условие от первого члена:

\( -9 < x < 9 \)

Ответ: \( (-9; 9) \).