10. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 600 равна 12 см. Найдите объём конуса.

Решение:

Обозначим образующую конуса как \( l \), радиус основания как \( r \), высоту конуса как \( h \).

Дано: \( l = 12 \) см, угол наклона образующей к плоскости основания \( \alpha = 60^\circ \).

1. Найдем радиус основания (r):

В прямоугольном треугольнике, образованном образующей, высотой и радиусом основания, угол между образующей и радиусом равен \( 60^\circ \) (так как угол наклона образующей к плоскости основания равен 60°, а плоскость основания содержит радиус).

\( ∠ \) между \( l \) и \( r \) = \( 60^\circ \).

\( = l · ∂∅(60^\circ) \)

\( r = 12 · \frac{1}{2} = 6 \) см.

2. Найдем высоту конуса (h):

\( h = l · \u2202³½(60^\circ) \)

\( h = 12 · \frac{√3}{2} = 6√3 \) см.

3. Вычислим объём конуса (V):

Формула объёма конуса: \( V = \frac{1}{3} · ³ \) \( r^2 h \).

\( V = \frac{1}{3} · ³ \) \( 6^2 · 6√3 \)

\( V = \frac{1}{3} · ³ \) \( 36 · 6√3 \)

\( V = ³ \) \( 12 · 6√3 \)

\( V = 72√3 \) см³.

Ответ: \( 72√3 \) см³.