5. Решите уравнение √x - 2 = x - 8

Решение:

Для решения уравнения возведём обе части в квадрат. Сначала определим ограничения: \( x - 8 \ge 0 \) → \( x \ge 8 \).

\( (\sqrt{x - 2})^2 = (x - 8)^2 \)

\( x - 2 = x^2 - 16x + 64 \)

Перенесём все члены в одну сторону:

\( x^2 - 16x - x + 64 + 2 = 0 \)

\( x^2 - 17x + 66 = 0 \)

Решим квадратное уравнение:

\( D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 66 = 289 - 264 = 25 \)

\( x_1 = \frac{17 + \sqrt{25}}{2} = \frac{17 + 5}{2} = \frac{22}{2} = 11 \)

\( x_2 = \frac{17 - \sqrt{25}}{2} = \frac{17 - 5}{2} = \frac{12}{2} = 6 \)

Проверим полученные корни по условию \( x \ge 8 \).

\( x_1 = 11 \) удовлетворяет условию.

\( x_2 = 6 \) не удовлетворяет условию.

Ответ: \( x = 11 \).