10. Периметр равнобедренного треугольника равен 48, а боковая сторона 15. Найдите площадь треугольника.

Решение:

Периметр равнобедренного треугольника \( P = 48 \) см. Боковая сторона \( b = 15 \) см. Найдем основание \( a \).

\( P = 2b + a \) \( \Rightarrow \) \( 48 = 2 \cdot 15 + a \) \( \Rightarrow \) \( 48 = 30 + a \) \( \Rightarrow \) \( a = 48 - 30 = 18 \) см.

Теперь найдем высоту \( h \) к основанию. Высота в равнобедренном треугольнике делит основание пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, половиной основания и боковой стороной. По теореме Пифагора:

\( h^2 + (\frac{a}{2})^2 = b^2 \)

\( h^2 + (\frac{18}{2})^2 = 15^2 \)

\( h^2 + 9^2 = 15^2 \)

\( h^2 + 81 = 225 \)

\( h^2 = 225 - 81 = 144 \)

\( h = \sqrt{144} = 12 \) см.

Площадь треугольника \( S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \) \( \Rightarrow \) \( S = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 12 = 9 \cdot 12 = 108 \) см².

Ответ: 108 см²