12. Найдите синус острого угла прямоугольной трапеции, меньшая боковая сторона которой равна 5 см, а разность оснований 12

Решение:

Пусть \( ABCD \) — прямоугольная трапеция, где \( AB \) — меньшая боковая сторона, \( AB = 5 \) см, и \( AB \perp AD \), \( AB \perp BC \). Пусть \( AD \) и \( BC \) — основания.

Пусть \( BC > AD \). Тогда \( BC - AD = 12 \) см.

Проведем высоту \( BH \) из вершины \( B \) к основанию \( BC \). В данном случае \( BH = AD \), и \( HC = BC - BH = BC - AD = 12 \) см.

\( AB \) — меньшая боковая сторона, она перпендикулярна основаниям. Угол \( \angle BAD \) — прямой (90°). Острый угол — это \( \angle ABC \) или \( \angle BCD \). В задаче не указано, какой именно острый угол ищется, и какое основание больше. Будем считать, что \( BC \) — большее основание, и ищем \( \sin(\angle BCD) \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( BHC \). \( BH = AB = 5 \) см, \( HC = 12 \) см.

Найдем синус угла \( \angle BCD \) (который равен \( \angle BCH \) в треугольнике \( BHC \)):

\( \sin(\angle BCH) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BH}{BC} \).

Сначала найдем гипотенузу \( BC \) по теореме Пифагора:

\( BC^2 = BH^2 + HC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \)

\( BC = \sqrt{169} = 13 \) см.

Теперь найдем синус:

\( \sin(\angle BCD) = \frac{BH}{BC} = \frac{5}{13} \).

Если бы \( AD \) было большим основанием, то \( AD - BC = 12 \), и \( AB \) была бы не меньшей боковой стороной, что противоречит условию. Если бы меньшей боковой стороной была бы другая сторона, то задача решалась бы иначе.

Ответ: \(\frac{5}{13}\)