10. При каких целых значениях n выражение (3n²−7n+17)/(n+4) является натуральным числом?

Делим числитель на n+4 с остатком: 3n²−7n+17=(n+4)(3n−19)+93. Поэтому выражение равно 3n−19+93/(n+4). Для целого значения необходимо, чтобы n+4 был целым делителем 93: ±1, ±3, ±31, ±93. Проверка этих вариантов показывает, что натуральные значения выражения получаются при n+4=31 и n+4=93. Они дают соответственно n=27 и n=89; значения выражения равны 65 и 249.

Ответ: n=27 или n=89.